Többszörösen telítő halmazok és MCF-kódok Fizika, Földtudományok és Matematika

35 OTDK, Fizika, Földtudományok és Matematika Szekció, Topológia és algebrai geometria Tagozat.

Többszörösen telítő halmazok és MCF-kódok

Hallgató: Pituk Sára
Szak: Matematikus, Képzés típusa: msc, Intézmény: Eötvös Loránd Tudományegyetem, Kar: Természettudományi Kar

Témavazető: Kiss György - egyetemi docens, Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

A `q`  elemű véges test feletti 3-dimenziós `PG(3,q)`  térben momentumgörbének nevezzük a
`{(t^3, t^2, t, 1): t in GF(q)} cup {(1,0,0,0)}` 
ponthalmazt. A görbe számos érdekes alkalmazása közül az egyik legújabb Bartoli, Davydov, Marcugini és Pambianco 2020-ban megjelent cikkében található. Ebben a szerzők a `PG(3,q)`  tér pont-sík illeszkedési mátrixának szerkezetét vizsgálták, ahol a pontokat is és a síkokat is a momentumgörbéhez viszonyított helyzetük szerint osztályozták és ennek segítségével aszimptotikusan optimális MCF (multiple covering of the farthest-off points)-kódokat adtak meg. Az MCF-kódok az `R`  sugarú térlefedő kódok egy részcsaládját alkotják, ahol minden `x`  szóhoz, ami `R`  Hamming-távolságra van a kódtól, egynél több olyan `w`  kódszó is van, amire `d(x,w)=R` . A kódelméletben megszokott módon ezeknek a kódoknak is megfeleltethetünk bizonyos tulajdonsággal rendelkező véges projektív térbeli ponthalmazokat, ezeket többszörösen telítő halmazoknak hívjuk. Ilyenre példa `PG(3,q)` -ban momentumgörbe is. A dolgozatomban az említett cikk eredményeit felhasználva és azokat a `PG(4k-1,q)`  terekre általánosítva megadok egy konstrukciót olyan magasabb dimenziós többszörösen telítő halmazokra, amelyekből további aszimptotikusan optimális MCF-kódokat lehet létrehozni.