Null-összegek véges Abel-csoportokban Fizika, Földtudományok és Matematika

31 OTDK, Fizika, Földtudományok és Matematika Szekció, Diszkrét matematika Tagozat.

Null-összegek véges Abel-csoportokban

Hallgató: Magyar András
Szak: Matematikus, Képzés típusa: msc, Intézmény: Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Kar: Természettudományi Kar

Témavazető: Dr. Sándor Csaba - docens, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Kar

A kombinatorikus számelmélet egyik alapköve az Erdős-Ginzburg-Ziv-tétel, amely azt mondja ki, hogy `2n-1` egész számból biztosan kiválasztható `n` darab úgy, hogy ezek összege osztható `n`-nel, sőt a `2n-1` korlát éles is. A tétel megszületése után sok újabb bizonyítás és általánosítás született.

Egy általánosítási irány lehet az, hogy az Erdős-Ginzburg-Ziv-tétel eredményét ciklikus csoportokra fogalmazzuk meg, és így a ciklikus csoportokhoz egy `s(ZZ_n)` konstanst rendelhetünk, még pedig azt a legkisebb egész számot, mely hosszú `ZZ_n`-beli sorozatból kiválasztható exponens (`exp(ZZ_n)`) darab, melyek összege a csoport `0`-elemét adja.

Tetszőleges Abel-csoport esetén hasonlóan definiáljuk `s(G)`-t. Bevezetve egy további `eta(G)` (legkisebb egész, amely hosszú `G`-beli sorozat már tartalmaz legfeljebb `exp(G)` hosszú `0`-öszszeget), konstanst az

`s(G)>=eta(G)+exp(G)-1`

egyenlőtlenség adódik, mely minden csoportra teljesül. Mai napig nyitott probléma, hogy az egyenlőtlenség megfordítása igaz-e. Pozitív a válasz azokban az esetekben, amikor a csoport rangja legfeljebb `2`, valamint ha a csoport exponense legfeljebb `4`.

A konstansok egy kézen fekvő általánosítása, hogy tetszőleges k pozitív egész esetén a k·exp, ill. a legfeljebb k·exp hosszú 0-összegeket vizsgáljuk. Így jutunk el `s_k(G)` és `eta_k(G)` konstansokhoz, melyek `k=1` esetén persze `s(G)`-t és `eta(G)`-t adják.

A dolgozatban elsőként megmutatjuk, hogy fennáll

`s_k(G)>=eta_k(G)+k*exp(G)-1`.

Majd ezt követően megmutatjuk, hogy tetszőleges k-ra az egyenlőtlenség megfordítása is igaz, amennyiben a csoport rangja legfeljebb `2`. Továbbá megmutatjuk, hogy ha az exponens legfeljebb `4`, akkor egy csoport kivételével a `3` rangú csoportokra is tetszőleges k esetén igaz az egyenlőtlenség megfordítása. Ezen túl megmutatjuk, hogy tetszőleges `G`-re, ha `k` „elég nagy”, akkor az egyenlőtlenség szintén megfordítható. Végül említést teszünk néhány nagyobb rangú `2`-csoportról.