Félcsoportok mátrixreprezentációinak dimenziói Fizika, Földtudományok és Matematika

31 OTDK, Fizika, Földtudományok és Matematika Szekció, Algebra Tagozat.

Félcsoportok mátrixreprezentációinak dimenziói

Hallgató: Zubor Márton
Szak: Matematikus, Képzés típusa: msc, Intézmény: Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Kar: Természettudományi Kar

Témavazető: Nagy Attila - docens, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Kar

A félcsoportelméletben fontos kutatási irány a félcsoportok reprezentációja, valamely test feletti mátrixokkal. Dolgozatomban, amely pozitív válaszokat ad az [1] cikkben megfogalmazott problémákra, ilyen reprezentációkkal foglalkoztam egy érdekes szempont szerint, középpontba állítva véges félcsoport hű mátrixreprezentáció szerinti képe által generált részalgebra dimenzióját. Az [1] cikk definíciója szerint akkor mondjuk, hogy egy k nem-negatív egész szám reprezentálható egy n pozitív egész számmal egy F test felett, ha k `<=` n és létezik egy n-elemű S félcsoport és megadható S-nek az F feletti n`xx`n-es mátrixok algebrájának multiplikatív strukturájába olyan injektív homomorfizmus, hogy a `Gamma(S)` által generált részalgebra dimenziója n-k.

A dolgozatom első részében összefoglalt vizsgálatok fő eredményeként, sikerült meghatároznom tetszőleges k nem-negatív egész és tetszőleges F test eseten mindazon n pozitív egész számokat, amelyekkel k reprezentálható F felett.

Ezt követően a fenti problémát vizsgáltam, olyan esetekben, amikor a reprezentáció speciális típusú. A dolgozatomban ismertetni fogok nehány eredményt a jobb reguláris reprezentációval kapcsolatban az [1] cikk alapján, illetve megvizsgálom a kérdést abban az esetben, ha a reprezentációban szereplő matrixok diagonálisak. Megvizsgáltam továbbá a null-félcsoport bizonyos reprezentációit. Ezek azért érdekesek, mert néhány kivételtől eltekintve egy k nem-negatív egész ugyanazokkal az n pozitív egészekkel reprezentálható ebben az eseteben is, mint amikor nem volt semmilyen megkötes a reprezentációra. Ezen reprezentációk közül különösen érdekesek, melyekben a félcsoport null-elemét nem a nullmátrix reprezentálja.

Irodalom:
[1] A. Nagy, Representable Nonnegatve Integers Over a Field (kézirat)