Erősen standardul rétegezett algebrák finitisztikus dimenziója Fizika, Földtudományok és Matematika

35 OTDK, Fizika, Földtudományok és Matematika Szekció, Algebra és számelmélet Tagozat.

Erősen standardul rétegezett algebrák finitisztikus dimenziója

Helyezés: 3

Hallgató: Szabó Csaba
Szak: Matematika, Képzés típusa: bsc, Intézmény: Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Kar: Természettudományi Kar

Témavazető: Lukács Erzsébet - egyetemi docens, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Kar

A véges dimenziós algebrák reprezentációelméletében fontos invariánsok a homologikus dimenziók, mint például a globális és a finitisztikus dimenzió. Legyen A egy véges dimenziós k-algebra, Mod-A, ill. mod-A az A feletti jobb modulusok, ill. végesen generált jobb modulusok kategóriája. Ekkor a gldim A = sup{projdim M | M ∈ Mod-A} számot nevezzük az A algebra globális dimenziójának. Ez könnyen kiszámolható, elég hozzá csak az egyszerű jobb A-modulusok projektív dimenzióját meghatározni. A globális dimenzió viszont gyakran végtelen. Ilyenkor pontosabb mérőszámot ad a moduluskategória homologikus komplexitására az algebra finitisztikus dimenziója, azaz findim A = sup{projdim M | M ∈ mod-A, projdim M < ∞}. Ennek meghatározása már roppant nehéz feladat. Több mint 50 éve megoldatlan az a sejtés, hogy minden Artin-algebra finitisztikus dimenziója véges.

A sejtést eddig csak speciális algebraosztályokra igazolták. Például a standardul rétegezett algebrák (jobb és bal) finitisztikus dimenziójának a felső korlátja 2n-2, ahol n az algebra feletti egyszerű jobb modulusok száma (izomorfiától eltekintve). Ha egy A algebra (páronként nem izomorf) egyszerű modulusainak rögzítjük egy S(1),...,S(n) rendezését, akkor a Δ(i) standard modulus az a maximális faktormodulusa P(i)-nek (S(i) projektív fedőjének), amely nem tartalmaz kompozíciófaktorként S(j)-t, ahol j > i. Az A algebra standardul rétegezett, ha az A_A jobb reguláris modulusnak van olyan 0 = M₀ ≤ M₁ ≤ … ≤ M_n = A_A moduluslánca, amelyben minden faktor valamely standard modulussal izomorf. Egy standardul rétegezett algebra globális dimenziója pontosan akkor véges, ha az algebra kváziöröklődő is, azaz End(Δ(i)) egyszerű minden i-re. A standardul rétegezett algebrák finitisztikus dimenziójára adott korlát azért is volt természetes (és éles), mert egybeesik a kváziöröklődő algebrák globális dimenziójára adott korábbi éles korláttal.

Az utóbbi évtizedben számos publikáció foglalkozott az úgynevezett erősen kváziöröklődő algebrákkal, azaz amelyekre projdim Δ(i) ≤ 1. Többek között bebizonyították, hogy a globális dimenzió legfeljebb n. Dolgozatunkban belátjuk, hogy ha A erősen standardul rétegezett, vagyis ha A standardul rétegezett, és projdim Δ(i) ≤ 1 minden i-re, akkor ugyanez a korlát fennáll az A mindkét oldali finitisztikus dimenziójára.